Problema - teorema celor 3 perpendiculare

Problema geometrie clasa a 8 –a

Triunghiul echilateral ABC, cu AB = 12 cm, are latura BC situată în planul α, iar D este proiecția lui A pe α. Știind că măsura unghiului BDC este de 90 grade, calculați tangenta unghiului format de planul ABC cu planul α.

 

 

Rezolvare:

Ne imaginăm planul α ca un dreptunghi orizontal pe care îl vedem din lateral. Văzut din lateral, acesta apare ca un paralelogram și desenăm acest paralelogram.

Triunghiul echilateral ABC are latura BC situată în planul α, iar vârful A în exteriorul planului. Triunghiul ABC îl desenăm deformat, ca un triunghi oarecare, deoarece și pe acesta, ne imaginăm că îl vedem din lateral.

Problema ne spune că punctul D este proiecția punctului A pe planul α. Știm că proiecția unui punct pe plan se obține ducând perpendiculara din punct pe plan. Construim din punctul A dreapta perpendiculară pe plan. Această dreaptă intersectează planul în punctul D. Unim punctul D cu punctul B și apoi cu punctul C. Avem în planul α triunghiul BDC, despre care problema ne spune că are unghiul BDC de 90 grade, deci este un triunghi dreptunghic.

Problema ne cere să aflăm tangenta unghiului dintre planul ABC și planul α. Acest unghi dintre două plane, este un unghi diedru. Știm că unghiul diedru se măsoară între două drepte, situate una într-un plan și cealaltă în celălalt plan, dar amândouă fiind perpendiculare pe dreapta de intersecție a celor două plane. Cum construim acest unghi?

În triunghiul ABC, construim perpendiculara AE pe latura BC a triunghiului. Unim D cu E.

Deoarece dreapta AD este perpendiculară pe planul α, rezultă că această dreaptă este perpendiculară pe orice dreaptă din planul α (teorema dreptei perpendiculară pe un plan), deci este perpendiculară și pe DE.

Observăm că: AD este perpendiculară pe planul α, punctul A este un punct de pe această perpendiculară, dreapta BC este o dreaptă situată în planul α și AE este o dreaptă perpendiculară pe BC. Conform teoremei celor 3 perpendiculare, DE este perpendiculară pe BC.

Deoarece planul ABC care se intersectează cu planul α după dreapta BC și avem AE situată în planul ABC și este perpendiculară pe BC, iar DE situată în planul α este perpendiculară tot pe BC, avem toate condițiile îndeplinite pentru a denumi unghiul AED ca fiind unghiul dintre planele ABC și α. Deoarece AD este perpendiculară pe DE, triunghiul ADE este dreptunghic și tangenta unghiului AED este dată de raportul dintre cateta AD opusă unghiului AED și cateta DE alăturată unghiului.

Tot ceea ce am descris mai sus, vom scrie în continuare în limbaj matematic. Astfel:

Δ ABC echilateral => AB = BC = AC = 12 cm

AE ⊥ BC => BE = EC = 6 cm (înălțimea în triunghiul echilateral este și mediană, mediatoare, bisectoare)

Deoarece:

AD ⊥ α => AD ⊥ DE ;

AD ⊥α

BC Ì α ;

E ∈ BC;                     =>  conform Teoremei celor 3 perpendiculare =>  DE ⊥ BC

AD ⊥ DE;

AE ⊥ BC;

Observăm că:

(ABC) I α = BC

AE ∈ (ABC)

AE ⊥ BC                 => Rezultă că  unghiul dintre cele două plane: ∡ ( (ABC), α) = ∡ AED

DE ∈ α

DE ⊥ BC

 Δ AED dreptunghic, tg ∡ AED = AD / DE

Pentru a calcula această tangentă ținem cont de următoarele.

Δ BDC dreptunghic, E ∈ BC și BE = EC = 6 cm => DE este mediană în triunghiul dreptunghic => DE = BC /2 = 12/2 = 6 cm.

În figura alăturată este desenat triunghiul BCD așa cum se vede în planul acestuia

 

 

În triunghiul ABE dreptunghic, calculăm AE cu ajutorul teoremei lui Pitagora (în figura alăturată este desenat triunghiul ABC nedeformat):

AE ² = AB² – BE ²  = 12 ²  - 6 ² = 144 – 36 = 108 => AE = √108 = 6√3 cm,

 

În triunghiul dreptunghic AED calculăm cateta AD cu ajutorul teoremei lui Pitagora:

AD ² = AE²  - DE² = (6√ 3)² – 6²  = 108 – 36 = 72 => AD = √72 = 6√2 cm.

 

În triunghiul AED (prezentat în figura alăturată nedeformat), unghiul AED = u, este unghiul dintre cele două plane: 

 

 tg ∡ AED = AD / DE = 6√2 / 6 = √2.

Soluție: tg ∡ AED = AD / DE = 6√2 / 6 = √2.