TEST algebră - model propus pentru evaluarea națională 2017

Subiectul I

(5p)    1. Rezultatul calculului 10 + (3 + 7) :10 este egal cu …..

(5p)   2. Șase caiete de același fel costă în total 18 lei. Trei dintre aceste caiete costă în total……
(5p)   3. Cel mai mare număr natural de două cifre este egal cu … .
(5p)    4. În triunghiul echilateral ABC, măsura unghiului ABC este egală cu …° .
(5p)    5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD , cu BC = 5cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCD este egală cu …cm .  








Soluție (1):                      10 + 10 : 10 = 10 + 1 = 11

Soluție (2):  18 : 6 = 3;  3 x3 = 9lei.

Soluție (3):  99 (cifra zecilor și cifra unităților luate cu valoarea cea mai mare 9)

Soluție (4):   60^o   (triunghiul echilateral este triunghiul cu toate unghiurile congruente între ele; fiecare unghi are măsura de 60⁰)

Soluție (5) :     Tetraedrul are 6 muchii;  Tetraedrul regulat are toate muchiile congruente între ele având măsura de 5 cm. Lungimea totală a muchiilor va fi de 6 x 5cm = 30 cm.

6 muchii x 5 cm = 30 cm

(5p)    6. În diagrama alăturată este prezentată repartiţia celor 30 de elevi ai unei clase a VIII-a, după opţiunile lor referitoare la continuarea studiilor. Conform diagramei, numărul elevilor din clasă care au optat pentru filiera teoretică este egal cu … .

Soluție:

Din diagramă, se observă că 50% dintre elevii clasei au optat pentru filiera teoretică.

50%x30 = 50x30/100 = 1500/100 = 15 elevi

Informații  suplimentare:  Cum se construiește o diagramă radială?

Diagrama radială este o diagramă specială care utilizează "felii de tort sau plăcintă" pentru a arăta dimensiunile relative ale datelor.

Să ne imaginăm cum facem un sondaj pentru un astfel de studiu.

Punem întrebarea  “Ce filieră / profil îți alegi pentru liceu, teoretică, vocațională sau tehnologică?”

și obținem răspunsurile pe care le punem într-un tabel:

Adăugăm în tabel, o coloană, unde facem totalul pentru toate profilurile.

Numărul total de elevi care au răspuns la întrebare este de 30.

Când desenăm o diagramă radială, cercul întreg reprezintă totalul de 30 elevi care au participat la sondaj.

Ne folosim de faptul că unghiul din jurul unui punct (centrul cercului) este de 360 grade. Pentru a afla unghiurile celor trei sectoare de cerc, care sunt feliile din diagramă) folosim regula de trei simplă astfel:

Pentru 30 de elevi …… 360 grade

Pentru 15 elevi……………x

X = 15 ∙ 360 / 30 = 15 ∙ 12 = 180 grade (filiera teoretică va avea un sector de cerc de 180 grade, sau o jumătate de cerc)

Pentru 30 de elevi …… 360 grade….

Pentru 3 elevi …………….y

Y = 3∙ 360 / 30 = 3 ∙ 12 = 36 grade ( filiera vocațională va avea un sector de 48 grade)

Pentru 30 de elevi …… 360 grade….

Pentru 12 elevi ………….z

Z = 12 ∙ 360 / 30 = 12 ∙ 12 = 144 grade (filiera tehnologică va avea un sector de 144 grade).

Pentru a putea lucra cu datele, vom folosi reprezentarea lor în procente.

Astfel:

30 elevi reprezintă totalul sau 100 % (100 % = 100/100 = 1)

15 elevi reprezintă   …………   x

X = 15 ∙100% / 30 = 50%  pe sectorul de cerc al filierei teoretice completăm informația 50 % dintre elevi aleg acest profil

30 elevi reprezintă totalul sau 100 %

3 elevi reprezintă  ………….     y

y = 3 ∙ 100% / 30 = 10% pe sectorul de cerc al filierei vocaționale completăm informația 10 % dintre elevi aleg acest profil

30 elevi reprezintă totalul sau 100 %

12 elevi reprezintă ……………   z

z = 12 ∙ 100% / 30 = 40% pe sectorul de cerc al filierei teoretice completăm informația 50 % dintre elevi aleg acest profil

În problema noastră se arată o diagramă cu procentele pentru fiecare opțiune a elevilor unei clase cu un număr de 30 de elevi.

Pentru rezolvare vom calcula cât reprezintă procentul de 50% din numărul total de elevi ai clasei:

50%∙30 = 50∙30/100 = 1500/100 = 15 elevi .

 Subiectul II

(5p)    1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDA'B'C'D'



 Se desenează cubul și se notează toate vârfurile bazei de jos ABCD și bazei de sus A'B'C'D' .

(5p)    2. Calculaţi media geometrică a numerelor
a = 3¹⁰⁰ :3⁹⁸ și  b = 3 ⋅ 2 − 2 .

Rezolvare:

a= 3¹⁰⁰ : 3⁹⁸ = 3 ^{100 – 98} = 3 ²

b = 3 ⋅ 2 – 2 = 2 ⋅ (3-1) = 2 ⋅ 2 = 2²

(5p)     3. Numerele x si y sunt direct proporţionale cu numerele 5 si 4 . Determinaţi numerele x si y , stiind că suma lor este egală cu 54 .

 Notă: Între două mulțimi finite de numere există o proporționalitatea directă dacă și numai dacă se poate forma un șir de rapoarte egale între elementele celor două mulțimi, astfel încât numărătorii raportelor să fie elementele unei mulțimi (luați în ordine) și numitorii rapoartelor să fie elementele celeilalte mulțimi, de asemenea luați în ordine.

Valoarea comună a acestor rapoarte se numește coeficient de proporționalitate si se notează cu k.k

{x , y} direct proporționale cu {5 , 4 }   =>  x/5 = y / 4 = k

Cunoaștem că un șir de rapoarte egale este egal cu un alt raport al sumei numărătorilor pe suma numitorilor.

4. Se consideră funcţia

(5p) a) Reprezentați grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy .

Rezolvare:

Pentru a reprezenta grafic funcția aflăm mai întâi punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Intersecția graficului funcției cu axa Oy:  Punctele care sunt pe axa Oy au proprietatea că au abscisa egală cu 0, deci pentru x =0  calcuăm valoare funcției și obținem f(0) = 0-4 = -4. Deci punctul de coordinate (0;-4) este punct al graficului funcției. Notăm acest punct cu M(0; -4).

Intersecția graficului funcției cu axa Ox:  Punctele care sunt pe axa Ox au proprietatea că au ordonata egală cu 0. Deci, trebuie șă aflăm care este abscisa punctului graficului funcției, care are ordonata egală cu 0.  f(x) = 0  => 2x -4 = 0  =>  2x = 4  => x = 2. Deci punctul care are coordonatele (2; 0) este punct care aparține graficului funcției.  Notăm acest punct cu N (2; 0).

Desenăm cele două puncte. Dreapta care trece prin cele două puncte este graficul funcției.

(5p)  b) În triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy , calculați

lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei.

Triunghiul OMN este un triunghi dreptunghic cu ipotenuza MN și catetele OM și ON.

Coordonatele punctului M sunt x_M = 2, y_M = 0, iar ale punctului N sunt x_N = 0, y_N = -4.

Mărimea unui segment, când cunoaștem coordonatele capetelor segmentului, o putem calcula astfel.

Sau, calculăm mărimea segmentului OM 

și mărimea segmentului ON 

apoi, prin teorema lui Pitagora, calculăm MN.

În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din mărimea ipotenuzei. Rezultă că



(5p)                3. Se consideră expresia

unde x este un număr real, x ¹ -3 și x ¹ 3. Arătați că E(x) =1, pentru orice x număr real, x ¹ -3 și x ¹ 3.

 Rezolvare:

Observăm că numărătorul se poate restrânge după formula pătratului unui binom,

 iar numitorul se poate descompune în factori după formula diferenței de pătrate.

E(x) = 1, pentru orice x număr real, x ¹ -3 și x ¹ 3. Condițiile sunt necesare pentru a se evita împărțirea prin zero (deoarece pentru x = 3 sau x = -3 numitorul devine egal cu zero).