Elemente de trigonometrie

Funcțiile trigonometrice

Într-un  triunghi dreptunghic ABC cu unghiul BAC de 90⁰, notăm măsurile laturilor astfel:

ipotenuza BC = a ;  cateta AB = c ; cateta AC = b. Pentru unul dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului ABC, fie acesta unghiul ABC de măsură x grade. se definesc funcțiile trigonometrice astfel:

-        funcția SINUS a unghiului ABC se notează  sin  ABC sau sin B în locul unghiului putem  pune măsura x a acestuia și avem sin x

funcția sin x se calculează prin raportul dintre cateta opusă unghiului x și ipotenuză.

 

-       Funcția COSINUS a unghiului ABC se notează cu cos ABC sau cos B sau  cos x.

Funcția cos x se calculează prin raportul dintre cateta alăturată  unghiului x și ipotenuză;

  

-       Funcția TANGENTĂ a unghiului ABC se notează cu tg ABC, sau tg B sau tg x. Funcția tangentă se calculează prin raportul dintre cateta opusă unghiului și cateta alăturată unghiului.

-       Funcția COTANGENTĂ a unghiului ABC se notează cu ctg ABC, ctg B sau ctg x.

Funcția cotangentă se calculează prin raportul dintre cateta alăturată unghiului și cateta opusă unghiului.

Formule trigonometrice elementare:

În triunghiul ABC din figura alăturată calculăm funcțiile trigonometrice ale unghiului B astfel:

 Aceste formule sunt derivate din formula lui Pitagora. Pentru triunghiul dreptunghic ABC, formula lui Pitagora:

Dacă în acestă formula împărțim atât membrul stâng cât și cel drept al egalității prin a² , obținem: 

 . Ținând cont de expresiile funcțiilor trigonometrice sin x = b/a și cos x = c/a, obținem  
                                               Formula fundamentală a trigonometriei

 În scrierea exponentului puterii s-a convenit a se așeza exponentul imediat după literele care reprezintă funcția și apoi măsura unghiului, înțelegând că întreaga funcție este ridicată la puterea respectivă:  sin² x  = (sin x)² . Dacă măsura unghiului, este ridicat la putere atunci scrierea este: sin x² = sin (x²) , înțelegând că funcția nu este ridicată la putere, c  numai unghiul x.

Alte formule, de legătură între funcții, sunt:

În triunghiul dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare, suma măsurilor lor este de 90⁰: unghiul B are măsura x și unghiul C are măsura 90⁰ – x.

Dacă scriem funcțiile trigonometrice ale unghiului C vom obține relațiile:

sin (90⁰-x) = c/a   ;   cos (90⁰-x) = b/a;

tg (90⁰-x) = c/b   și   ctg (90⁰-x) = b/c

Dacă legăm relațiile acestea cu funcțiile trigonometrice ale lui x scrise mai sus obținem:

sin x = cos (90⁰ –x);

cox x = sin (90⁰ –x);

tg x = ctg (90⁰ –x).

Cele mai cunoscute și folosite valori ale funcțiilor trigonometrice sunt cele ale unghiurilor de 30⁰, 45⁰ și 60⁰. Acestea sunt: