Cercul trigonometric / alte formule trigonometrice

Pentru măsurarea unghiurilor se utilizează, pe lângă grad, unitatea de măsră numită RADIAN.

Deoarece pentru orice cerc raportul dintre perimetrul cercului și diametrul acestuia, sau între semiperimetrul cercului și raza acelui cerc este o constantă egală cu TT (pi - literă din alfabetul grecesc) și valoarea lui TT este un număr irațional 3,1415... 

(luăm numai primele patru zecimale, dar în calcule, de obicei, se folosește cu valoarea 3,14)

                               L cercului / 2 r  = TT  =>  L cercului = 2 TT r ,

 putem defini radianul astfel:

Definiție:  1 radian este egal cu măsura unui unghi la centru care subîntinde între laturile sale un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. 

Deoarece în jurul unui punct sunt 360 grade și lungimea cercului de rază r, numit cerc trigonometric, care reprezintă arcul de 360 de grade este 2 TT , prin regula de trei simplă se obține măsura în radiani pentru un unghi x care are măsura x în grade.
360 grade ....... 2 TT r,
 x    grade ..........x_r  (măsura acestui unghi în radiani)
                    x_r  =   2 TT x r / 360 =  TT x r/ 180

          

 Cercul trigonometric

         Considerăm un sistem de axe cartezian xOy , un cerc de centru O și rază egală cu 1 și un sens de parcurgere a circumferinței cercului considerat sens direct (de la A către B) atunci când este invers mișcării acelor de ceas. Acest cerc se numește cerc trigonometric. 

        

Vom reține că unui unghi de 360 grade îi corespund 2 TT  radiani (lungimea întregului cerc de rază 1), la 180 grade corespund TT radiani, iar pentru 90 grade corespund TT / 2 radiani. 
În formulele trigonometrice se utilizează aceste măsuri în radiani pentru unghiuri.

Alte formule, care se pot deduce pentru triunghiul dreptunghic ABC din formulele prezentate în Elemente de trigonometrie:

 

În afară se sinus, cosinus, tangenta și cotangentă în trigonometrie se mai utilizează și funcțiile numite SECANTĂ, notată sec și COSECANTĂ, notată cosec:

sec x = 1 / cos x ,    cosec x = 1 / sin x

 Exemplu de transformare în radiani a măsurii unui unghi:

Problemă: 

Să se exprime în radiani măsura arcului de 73⁰25’15”

Rezolvare: vom transforma minutele și secundele în fracțiuni zecimale de grad. 

25’15” = (25 x 60 + 15)” = 1515”

1 grad = 60 x 60 secunde = 3600 “

1515 “ = (1515 / 3600 ) ⁰ = 0,4208⁰.

Deci valoarea în fracție zecimală a unghiului este 73,4208⁰ .

Folosim formula de mai sus pentru a exprima măsura unghi în radiani =

Elemente de trigonometrie

Funcțiile trigonometrice

Într-un  triunghi dreptunghic ABC cu unghiul BAC de 90⁰, notăm măsurile laturilor astfel:

ipotenuza BC = a ;  cateta AB = c ; cateta AC = b. Pentru unul dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului ABC, fie acesta unghiul ABC de măsură x grade. se definesc funcțiile trigonometrice astfel:

-        funcția SINUS a unghiului ABC se notează  sin  ABC sau sin B în locul unghiului putem  pune măsura x a acestuia și avem sin x

funcția sin x se calculează prin raportul dintre cateta opusă unghiului x și ipotenuză.

 

-       Funcția COSINUS a unghiului ABC se notează cu cos ABC sau cos B sau  cos x.

Funcția cos x se calculează prin raportul dintre cateta alăturată  unghiului x și ipotenuză;

  

-       Funcția TANGENTĂ a unghiului ABC se notează cu tg ABC, sau tg B sau tg x. Funcția tangentă se calculează prin raportul dintre cateta opusă unghiului și cateta alăturată unghiului.

-       Funcția COTANGENTĂ a unghiului ABC se notează cu ctg ABC, ctg B sau ctg x.

Funcția cotangentă se calculează prin raportul dintre cateta alăturată unghiului și cateta opusă unghiului.

Formule trigonometrice elementare:

În triunghiul ABC din figura alăturată calculăm funcțiile trigonometrice ale unghiului B astfel:

 Aceste formule sunt derivate din formula lui Pitagora. Pentru triunghiul dreptunghic ABC, formula lui Pitagora:

Dacă în acestă formula împărțim atât membrul stâng cât și cel drept al egalității prin a² , obținem: 

 . Ținând cont de expresiile funcțiilor trigonometrice sin x = b/a și cos x = c/a, obținem  
                                               Formula fundamentală a trigonometriei

 În scrierea exponentului puterii s-a convenit a se așeza exponentul imediat după literele care reprezintă funcția și apoi măsura unghiului, înțelegând că întreaga funcție este ridicată la puterea respectivă:  sin² x  = (sin x)² . Dacă măsura unghiului, este ridicat la putere atunci scrierea este: sin x² = sin (x²) , înțelegând că funcția nu este ridicată la putere, c  numai unghiul x.

Alte formule, de legătură între funcții, sunt:

În triunghiul dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare, suma măsurilor lor este de 90⁰: unghiul B are măsura x și unghiul C are măsura 90⁰ – x.

Dacă scriem funcțiile trigonometrice ale unghiului C vom obține relațiile:

sin (90⁰-x) = c/a   ;   cos (90⁰-x) = b/a;

tg (90⁰-x) = c/b   și   ctg (90⁰-x) = b/c

Dacă legăm relațiile acestea cu funcțiile trigonometrice ale lui x scrise mai sus obținem:

sin x = cos (90⁰ –x);

cox x = sin (90⁰ –x);

tg x = ctg (90⁰ –x).

Cele mai cunoscute și folosite valori ale funcțiilor trigonometrice sunt cele ale unghiurilor de 30⁰, 45⁰ și 60⁰. Acestea sunt: