Fie ABCD un trapez dreptunghic cu baza mare AB și măsurile unghiurilor A și D de 90 grade.
Demonstrați
inegalitățile:
a ) AB – CD > BC – AD;
b)
AB + AC > DB + DC.
Demonstație:
a) În trapezul ABCD construin perpendicular din
C pe latura AB și notăm cu E piciorul perpendicularei situat pe AB. Deoarece ABCD este trapez cu unghiurile A și
D de 90 grade, acest trapez este dreptunghic și are baza mare AB paralelă cu
baza mica CD.

Patrulaterul
ADCE are laturile opuse paralele și unghiurile de 90 grade, deci este un
dreptunghi.
Rezultă că laturile opuse sunt congruente,
AE = CD și AD = CE.
Demonstrăm prima relație
AB-CD
> BC – AD . Deoarece am arătat
mai sus că CD = AE și AD = CE
avem AB – CD = AB – AE = BE și în partea
dreaptă BC – AD = BC – CE
Acum inegalitatea devine: BE > BC – CE
sau BC + CE > BC
Observăm că acum în inegalitate avem
laturile triunghiului BEC.
Relația
este adevărată deoarece întotdeauna într-un triunghi suma a oricare două laturi
este mai mare decât cea de a treia latură.
b) Pentru cea de-a doua inegalitate
construim diagonalele trapezului AC și BD.
În inegalitatea AB + AC > DB + DC,
trecem DC în partea stângă DC și AC în
partea dreaptă cu semne schimbate.

Inegalitatea devine: AB – CD > DB – AC
Am arătat mai sus că laturile opuse ale dreptunghiului
sunt egale
CD = AE și totodată avem și diagonalele
dreptunghiului egale. Acestea sunt: AC = DE. Introducem în inegalitate și avem:
AB – AE > DB – DE . Deoarece AB – AE = BE inegalitatea devine:
BE >
DB – DE sau BE + DE > DB
Observăm că inegalitatea este adevărată deoarece avem inegalitatea laturilor
triunghiului BED, în care întotdeauna
suma a două laturi este mai mare decât cea de-a treia latură.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu