Problema geometrie clasa VIII-a Concurs Lumina Math 2014

Problema geometrie clasa a VIII-a / Concursul Lumina Math 2014

În trapezul ABCD, BC⊥AB, BC⊥CD și AC⊥BD. Știind că

BC are lungimea:

 

Rezolvare:
În primul rând desenăm figura. Pentru aceasta ținem cont de datele problemei BC⊥AB, BC⊥CD , din care rezultă că laturile paralele ale trapezului sunt AB și CD ( AB ∥CD). De asemenea, avem grijă să facem o figură în care diagonalele AC și BD să fie perpendiculare.
Deoarece diagonalele sunt perpendiculare și se intersectează în punctul notat cu O, putem nota BO ⊥AC și DO⊥AC . Astfel scoatem în evidență faptul că BO și DO sunt înălțimi în Δ ABC și Δ DAC.
Aria trapezului ABCD se poate scrie ca suma ariilor triunghiurilor ABC și DAC. 

Cunoaștem acestă formulă : Aria unui patrulater care are diagonalele perpendiculare este egală cu jumătate din produsul diagonalelor.
Pe de altă parte aria trapezului este egală cu produsul dintre semi-suma bazelor și înălțimea trapezului.

Egalând cele două relații obținem o primă ecuație:

 

Observăm din figură că avem cunoscute două laturi ale trapezului și două sunt necunoscute. Notăm cu x latura BC și cu y latura CD.

Pentru a exprima diagonalele ne folosim de teorema lui Pitagora pe care o aplicăm în triunghiurile ABC și BCD. Astfel avem:

Înlocuim în aceste relații valorile și notațiile din figură:

Înlocuim expresiile obținute pentru diagonale le înlocuim în relația 3 și obținem:

Aducem această relație la o formă mai simplă prin ridicare la pătrat (atât membrul stâng cât și cel drept din ecuație).

Am obținut o primă ecuație între x și y, cele două necunoscute.

Pentru o a doua relație, construim perpendiculara din A pe latura CD și notăm punctul M. ABCM este un dreptunghi și CM este congruent cu AB. Rezultă că DM este egal cu:

 

În triunghiul dreptunghic ADM aplicăm teorema lui Pitagora și obținem:

Facem înlocuirile cu valorile și notațiile corespunzătoare:

Ținem cont de relația 6 și înlocuim  x cu expresia în y. Rezultă:

În această relație formăm un binom la pătrat prin următoarele operații ajutătoare:
- Pentru a forma termenul din mijloc al formulei binomului la pătrat: înmulțim termenul care conține y cu un 2 și împărțim cu 2;
- Recunoaștem în acest termen din mijloc forma celui de-al doilea termen al binomului
- Pentru a avea și cel de-al doilea pătrat perfect din formulă adunăm și scădem valoarea pătratului acestui al doilea termen al binomului care lipsește. Avem astfel:

Valoarea negativă este imposibilă deoarece segmentul ia doar valori pozitive.

Deci

 

Și pe x îl obținem din relația 6

Soluția problemei:   varianta E