EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI A VIII-a /model / rezolvare și barem Subiectul al III-lea

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI A VIII-a  /model  / rezolvare și barem

Anul școlar 2014 – 2015  

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul efectiv de lucru este de 2 ore (pentru cele 3 subiecte)

Subiectul al 3 –lea  (30 puncte)

 

1.  Figura 2 este schița unui patinoar în formă de dreptunghi ABCD, cu lungimea

și lățimea AB = 30 m. Un patinator pornește din punctul M situate pe latura AB astfel încât BM = 10 m și patinează parallel cu diagonalele dreptunghiului atingând latura BC în N, latura CD în P, latura DA în Q și se întoarce în punctul M.

a) Calculați aria dreptunghiului ABCD.
b) Arătați că m (≮NMQ) = 60^o.
c) Arătați că distanța parcursă de patinator pe traseul M → N → P → Q → M este egală cu 120 m.

Rezolvare:

a)    Aria dreptunghiului = lungimea x lățimea    

 

 

b)         Construim diagonalele dreptunghiului. În triunghiul dreptunghic ABC aplicăm teorema lui Pitagora: AC² = AB² + BC² rezultă: 

Diagonalele dreptunghiului sunt congruente , AC ≡ BD și se taie în părți egale:

AO = BO = CO = DO = 30 m deoarece AB = CD = 30 m rezultă că triunghiurile AOB și COD sunt triunghiuri echilaterale și au unghiurile egale cu 60 ^o .

m ( ≮ AOB) = m( ≮ COD) = 60^o.                                      (3 puncte)

Din ipoteză MN ‖ AC , MQ ‖ BD  ⇒  ≮ NMQ ≡ ≮ COD (unghiuri cu laturile paralele, ambele ascuțite)  ⇒  m (≮ NMQ ) = m(≮ COD ) = 60 ^o. (2 puncte)

c)        

                      (1 punct)

        

( 2 puncte)

MNPQ este paralelogram deoarece laturile opuse sunt paralele două câte două

MN ‖ AC ‖ QP și MQ ‖ BD ‖ PN; laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente, deci MN = PQ = 20 m  și MQ = NP = 40 m.

 Perimetrul paralelogramului MNPQ este egal cu traseul patinatorului.         (2 puncte)

P_MNPQ  = MN + NP + PQ + QM = 2 (MN + PQ) = 2(20 + 40)  = 120 m.

2.  În Figura 3 este reprezentat un con circular drept cu înălțimea VO, VO = 12 cm. Segmentul AB este diametru al bazei conului și VA = 15 cm.

a)  Arătați că volumul conului circular drept este egal cu 324 π cm³.

b)  Calculați valoarea sinusului unghiului format de generatoarea conului cu planul bazei.

c)  Conul se secționează cu un plan paralel cu planul bazei astfel încât aria secțiunii formate este egală cu 9 π cm². Determinați distanța de la punctul V la planul de secțiune.

Rezolvare:

a)  Formula volumului conului  

 unde R este raza cercului de la baza conului și h este înălțimea conului (perpendiculara din vârful conului pe baza acestuia),  deoarece VO este înălțimea conului circular drept.

Notăm cu α planul cercului de la baza conului.

VO ⊥ α => VO ⊥ pe orice dreapta din α => VO ⊥ AO => Δ VOA dreptunghic . Aplicăm teorema lui Pitagora:

VA ² = AO² + VO² => AO² = VA² – VO² = 15² – 12² = 225 – 144 = 81 =>

AO = 9cm.  (este raza bazei)

Aria bazei :  A_bazei = π R² = π 9² = 81 π cm²                                (3 puncte)

                                            (2 puncte)

 

b)          Generatoarea conului este VA. Unghiul pe care îl face generatoarea cu planul bazei, notat cu α) este unghiul dintre generatoare și proiecția ei pe planul bazei.

Proiecția lui VA pe planul bazei se obține ducând perpendiculara din punctul V pe planul bazei (este chiar înălțimea VO) și se obține AO.

≮ (VA, α) = ≮ (VA, AO) = ≮ (VAO)

Unghiul pentru care trebuie calculat sinusul este VAO.        (2 puncte)

În triunghiul VAO dreptunghic, sinusul (se notează sin) unui unghi ascuțit se calculează cu formula:

c)   

Aria secțiunii: cercul de centru O’ și rază A’O’ = π (A’O’)² = 9 π

(A’O’)² = 9  ⇒ A’O’ = 3 cm. (2 puncte)

Notăm planul de secțiune cu α’ . Avem cele două plane paralele α ‖ α’ și VO înălținea conului care este perpendicular pe planul bazei α rezultă că va fi perpendicular și pe planul de secțiune α’.

VO ⊥ α , α ‖ α’ ⇒ VO ⊥ α’ ⇒ VO ⊥ A’O’ ⇒ A’O’ ‖ AO ⇒ ΔVA’O’ ∼ Δ VAO ⇒

 
Înlocuim valorile în rapoartele de asemănare și obținem: