Inecuație cu numere întregi clasa a 8-a

Un exercițiu de la concursul național de matematică Lumina math 2014 clasa a 8-a.

Dacă a este un număr natural nenul astfel încât pentru exact 11 valori întregi ale lui x avem inegalitatea,

atunci a are valoarea

 1                     2                 3                  4             sau              5 ?

Rezolvare:

Luăm prima partea a inegalității și scriem inecuația:

Aducem la același numitor și eliminăm numitorul (putem să scriem fără numitor deoarece acesta este un număr pozitiv / este număr natural/ . Rezultă      -a < x.

Luăm cea de –a doua parte a inegalității și scriem inecuația: 

Aducem la același numitor și eliminăm numitorul (putem să scriem fără numitor deoarece acesta este un număr pozitiv / este număr natural/ . Rezultă      x < 2a.

Punând împreună cele două inecuații avem:   -a < x< 2a.

Problema ne spune că x are exact 11 valori.  Pentru că a este un număr natural, 2a este dublul lui, tot natural și –a este număr negativ. Rezultă că numărul zero care se află între –a  și 2a   poate fi valoare a lui x, de asemenea   numărul  a   aflat între –a și 2a poate fi valoare a lui x.

Dacă desenăm o axă a numerelor:

Segmentele    -a până la zero ,   sau de la 0   până la a, precum și cel de la  a până la 2a  sunt de aceeași mărime, ele conțin același număr de numere între ele   și anume a-1  numere ( de exemplu de la 4 până la 8  fără să considerăm capetele găsim  8 – 4 –1 numere ).

Avem 3 segmente,  deci sunt    3(a-1) numere în interiorul fiecărui segment. Dar împreună cu valorile care pot fi ale lui x, adică  0  și a (deci încă două valori), înseamnă că avem

3(a-1) + 2 numărul total de valori ale lui x între –a   și 2a. 

Această expresie o egalăm acum cu 11 deoarece problema spune că sunt exact 11 valori ale lui x.

3(a-1) + 2 = 11

3(a-1)  = 9

a-1 = 3   =>  a = 4  

Soluția problemei este a =4.