Cercul trigonometric / partea a 3-a

În continuare la propoziția exprimată în postarea Cercul trigonometric - partea a2-a :
Pentru orice număr real t există un unic număr întreg k și un unic număr

astfel încât t = α + 2kπ

Exerciţiu cu module şi radicali - clasa a VII-a

Clasa a VII-a

Fie  x şi y două numere reale astfel încât   x - 5 y + 3 = 0 şi  -3 ≤ x ≤ 2.

Calculaţi valoarea numărului

Exerciţiu cu mulțimi și radicali, clasa a 7-a, Lumina Math 2014

Concursul național Lumina Math 2014, clasa a 7-a

Mulțimea

este:

 

Ecuații cu module

Algebră clasa a VII-a , subiect de la Concursul național Lumina Math 2014

Dacă

și

atunci a + b = ?

Soluţie:   A)  13 ;                   B 2,2 ;                 C)   -2 ;                    D)   22/5 ;                       E)  -13;

Numărul numerelor prime care divid expresia (Algebră clasa a VII-a)

Algebră clasa a VII-a 

Numărul numerelor prime care divid expresia:

71² – 37² - 51 este

            A)   0                B)  1             C)  2              D)  3                E) 4

Problemă cu arii (triunghi și pătrat)

Geometrie clasa a VII-a

Fie ABCD un pătrat în care

 unde M este mijlocul lui AB, iar

Dacă    A_ABCD  = 432 cm², aflaţi aria triunghiului MNO.

Subiecte clasa IV-a Lumina Math 2014

Subiecte Concursul naţional Lumina Math 2014 - Clasa a IV-a

3.    Un copil se joacă, urcând un şir de trepte după regula următoare: urcă 3 trepte, coboară una, urcă din nou 3 trepte, coboară două. Pe ce treaptă se află după 736 de paşi? (Un pas înseamnă urcarea sau coborârea unei trepte.)

       A)   243                    B)     368                     C) 336                     D) 248                      E) 412

Subiecte clasa a IV-a (Lumina Math 2014)

Subiecte clasa a IV-a (Lumina Math 2014)

1. Care egalitate este falsă?

A)     4 x 3 + 2 x 1 = 14

B)      3 x 4 – 2 x 1 = 10

C)      2 + 1 x 4 +3 = 9

D)     (3 + 4) – (1 + 2) = 4

E)      (1 +2) x (3 + 4) = 24

Cercul trigonometric (partea a II-a)

Revenim la cercul trigonometric. 

Pentru noțiunile introductive  vă rog să citiți și articolul Cercul trigonometric/ alte formule ale trigonometriei.  Am definit noțiunea de radian și am definit un sens de parcurgere  a circumferinței cercului. Presupunem că un punct mobil este situat pe cerc și se mișcă. În cazul în care punctul se deplasează în sens contrar acelor de ceasornic, numim acest sens SENSUL POZITIV sau sensul direct trigonometric.

În cazul în care punctul se mișcă în sensul acelor de ceasornic, numim acest sens SENS NEGATIV sau sens invers trigonometric. 

Construim prin centrul cercului trigonometric (de rază egală cu unitatea) cele două axe carteziene Ox și Oy și punctul mobil P situate pe cerc.
Punctele de intersecție ale cercului cu axele de coordinate le notăm cu A (1, 0), A’(-1, 0), B(0, 1) , B’(0, -1). Axele de coordinate impart cercul în 4 cadrane pe care le notăm cu cifrele romane I, II, III și IV.    
Cadranul I este arcul de cerc de la punctul A la B. Cadranul II este de la B la A’, cadranul III este de la punctul  A’ la punctul B’și cadranul IV de la punctul  B’ la punctul A. Când punctul P se află în cadranul I măsura unghiului POA este cuprinsă între 0 și TT /2 radiani (adică între 0 și 90 de grade), când punctul P ajunge în cadranul  II măsura unghiului POA este mai mare de 90 și mai mica de 180 de grade, sau spunem că este între TT /2 și TT radiani. În cadranul III măsura unghiului POA depășește 180 de grade și poate ajunge la 270 de grade, adică este între TT și 3 TT /2.  Iar, când ajunge  în cadranul IV  măsura unghiului POA depășește 270 de grade și poate ajunge la 360 de grade, adică între 3 TT /2 și 2 TT  radiani.   

Presupunem că  pe circumferința cercului lungimea arcului de la A la punctul mobil P avem o lungime egală cu t. Această lungime o măsurăm în numere reale și va avea valoarea cuprinsă între 0 și TT/2. Unghiul POA va avea măsura egală cu t deoarece cunoaștem că măsura arcului de cerc este egală cu măsura unghiului la centru care delimitează arcul de cerc.

Din definiția sinusului și a cosinusului, în triunghiul dreptunghic OPP’ (OP = 1) avem:

 cos  t = OP’ / OP = OP’ = abscisa punctului P, iar 
 sin t = PP’ / OP = PP’ = ordonata punctului P.

Coordonatele punctului P sunt cos t și sin t și vom scrie P(cos t, sin t).

Observăm că se poate stabili o corespondență între mulțimea numerelor reale și mulțimea punctelor cercului trigonometric.  

Astfel:  pentru orice număr t din mulțimea numerelor reale există un număr întreg k și un număr unic

Astfel încât

Va urma...