Patrulatere

Patrulaterul este poligonul cu patru laturi. Dacă unim patru puncte diferite A, B, C, D aflate într-un plan în așa fel încât oricare trei puncte nu se află pe o dreaptă (sunt necoliniare), prin patru segmente AB, BC, CD, DA vom obține un patrulater. Se pot vedea în figura 1  patrulaterele ABCD, MPNR și RSTV. 

Figura 1

Dacă două dintre segmentele patrulaterului au un punct comun, care este diferit de capetele segmentelor (observăm în figura 1, la patrulaterul MPNR că laturile MP și NR se intersectează și au un punct comun, altul decât capetele) atunci patrulaterul se numește patrulater stelat.

Figura 2

În continuare vom exclude patrulaterele stelate și vom discuta despre patrulaterele pentru care segmentele care sunt laturile lui să nu aibă alte puncte comune în afară de capetele segmentelor.
Cele 4 puncte care formează patrulaterul se numesc vârfurile patrulaterului (în figura 2, A, B, C, D și respectiv M, N, P, R) , iar segmentele AB, BC, CD, DA și respectiv MN, NP, PR, RM se numesc laturile patrulaterului.

Patrulaterul ABCD se numește convex, dacă segmentul EF, care unește pentru oricare două puncte din interiorul patrulaterului, inclusiv de pe laturile lui, se află în întregime în interiorul patrulaterului.
Într-un patrulater convex, toate unghiurile patrulaterului au măsuri mai mici de 180 grade.
Patrulaterul  MNPR se numește concav, dacă există cel puțin un segment GH, care unește două puncte din interiorul patrulaterului sau de pe laturile lui, care nu se află în întregime în interiorul patrulaterului.
Într-un patrulater concav există un unghi cu măsura mai mare de 180 grade.

 Segmentele care unesc vârfurile opuse ale unui patrulater se numesc diagonale.
La patrulaterul convex diagonalele se află în interiorul patrulaterului și, fiecare diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri.
La patrulaterul concav (așa cum este patrulaterul RSTV din figura 1) o diagonală este în interiorul patrulaterului și cealaltă este în afara acestuia (doar capetele diagonalei fac parte din patrulater).

Suma unghiurilor unui patrulater este de 360 grade.


Următoarea postare pe 2 noiembrie 2014

Cerc / noțiuni introductive (partea a III-a)

Teorema unghiului înscris, despre care am vorbit în Cercul - noțiuni introductive /partea a doua:
un unghi înscris în cerc (MAN ) are măsura egală cu jumătate din măsura unghiului la centru care subîntinde același arc de cerc.

 Măsura unghiului la centru MON este egală cu măsura arcului de cerc MN dintre laturile unghiului.

Toate unghiurile înscrise în cerc care subîntind același arc de cerc sunt egale (au aceeași măsură). așa sunt, în figura alăturată, unghiurile MBN, MAN, MCN și MDN.

Dacă printr-un punct A de pe cerc desenăm tangenta la cerc / dreapta t / și o coardă oarecare AB care trece prin punctul A unghiul format între coardă și tangentă se numește unghiul tangentei la coardă. Unghiul tangentei la coardă tAB are aceeașă măsură ca unghiul înscris care subîntinde acel arc / de exemplu unghiul ACB/


Cerc circumscris unui triunghi / Cerc înscris în triunghi

Orice triunghi are un cerc circumscris pe care se află vârfurile triunghiului și un cerc înscris, tangent la laturile triunghiului în interior.

Reamintesc, centrul cercului circumscris triunghiului se află la intersecția mediatoarelor laturilor triunghiului, iar centrul cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor triunghiului.


Următoarea postare pe 31 octombrie

Cercul - noţiuni introductive (partea a II-a)

Vorbind despre o dreaptă secantă la cerc, mai putem aminti următoarele noţiuni:
- o dreaptă secantă la cerc împarte linia cercului în două părţi, dar şi suprafaţa cercului este împărţită în două părţi. Părţile liniei cercului se numesc arce, iar părţile suprafeţei cercului se numesc segmente de cerc.
Dacă notăm cu A şi B punctele în care dreapta secantă intersectează cercul, segmentul AB determinat de aceste puncte de pe cerc se numeşte coardă.
 O coardă care trece prin centrul cercului se numeşte diametrul cercului.
Orice diametru al unui cerc este coarda cu lungimea cea mai mare a cercului. Diametrul împarte cercul în două părţi congruente şi este axă de simetrie a cercului.
Unghi la centru:
In figura alăturată coarda este segmentul AB. Punctele A şi B sunt capetele corzii. Dacă unim capetele corzii, punctele A şi B, cu centrul cercului vom obţine două unghiuri AOB în jurul punctului O.
Un unghi AOB cuprinde între laturile lui întregul segment AB şi un arcul de cerc AB (arcul mic). Celălalt unghi AOB este în unghiul mare, care completează cercul. Aceste unghiuri AOB au vârful în centrul cercului şi se numesc unghiuri la centru. Cele două unghiuri la centru, subîntinse de aceeaşi coardă formează împreună un unghi complet (de 360 grade).
Porţiunea din suprafaţa cercului aflată în câmpul unghiului la centru se numeşte sector de cerc.
Arcele de cerc se măsoară în grade la fel ca şi unghiurile. 

De reţinut: În același cerc sau în cercuri congruente, la corzi congruente corespund arce și unghiuri la centru congruente. 

Dacă într-un cerc avem două coarde care pornesc din același punct de pe cerc (punct comun al celor două coarde și al cercului) ele formează un unghi numit unghi înscris în cerc care are vârful pe cerc.

La o coardă AB a cercului se pot desena două unghiuri înscrise, diferite între ele prin faptul că vârfurile lor sunt plasate pe cerc, de o parte și de cealaltă a coardei AB.

Unghiul AMB subîntinde coarda AB şi cuprinde între laturile sale arcul mare AB care trece prin punctul N.
Unghiul ANB subîntinde tot coarda AB dar cuprinde între laturile sale arcul mic AB care trece prin punctul M.
Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului dintre laturile unghiului.

Următoarea postare : 30 octombrie 2014

Cercul - noţiuni introductive (partea I)

Aici veți găsi câteva noțiuni teoretice despre cerc. Când rezolvați teste cu probleme de matematică, ar fi bine să vă adăugaţi și câteva noțiuni de teorie.

Definiția cercului poate fi dată astfel: Mulțimea punctelor din plan, egal depărtate de un punct fix, numit centru, se numește cerc.
Pentru cei mai avansați, o altă definiție: Locul geometric al tuturor punctelor, care au aceeași distanță r până la un punct fix M, este cercul de centru M și rază r. Reamintesc ce se înțelege prin loc geometric. Locul geometric este o submulțime de puncte din plan (sau din spațiu) care îndeplinește aceleași condiții.  Aceste condiții pot lua diferite forme, de obicei sunt expresii. Când rezolvăm toate condițiile, obținem o mulțime de soluții. Această mulțime de soluții a formei corespunzătoare a expresiei date este locul geometric.

Orice segment care unește centrul M cu un punct al cercului este rază.
Segmentul care unește două puncte de pe cerc și care trece prin centrul cercului se numește diametru.
Măsura diametrului este egală cu 2r (de două ori raza).

Poziția unui punct față de un cerc
   

 Orice punct P aflat în interiorul cercului se află la o distanță d față de centrul cercului, d= MP, care este mai mică decât raza cercului: MP < r ;
 Orice punct N aflat pe cerc se află la o distanță r față de centrul cercului, MN, care este egală cu raza cercului:  MN = r  ;
 Orice punct R aflat în exteriorul cercului se află la o distanță d' față de centrul cercului, d'=MN, care este mai mare decât raza cercului: MR > r ;

Poziția unei drepte față de un cerc:

Dacă într-un plan desenăm un cerc și o dreaptă oarecare vom observa că putem poziționa dreapta în plan de la o poziție  exterioară și depărtată de cerc, unde dreapta nu are nimic comun cu cercul, apoi putem desena dreapta apropiată de cerc până când aceasta atinge cercul. Continuând mișcarea dreptei în plan prin apropiere de centrul cercului, vom observa că dreapta intersectează cercul în două puncte. Continuând mișcarea dreptei în plan, dincolo de centrul cercului situațiile se repetă.

Dacă un cerc și o dreaptă au două puncte comune, se spune că dreapta intersectează cercul. Dreapta care intersectează cercul se numește secantă.  În figura alăturată, dreapta d" este secanta care intersectează cercul de centru O și rază r în punctele A și B. Distanţa de la centrul cercului până la dreapta d o construim desenând perpendiculara coborâtă din centrul O pe dreapta d".
Această distanţă este ON = s . Acest segment are o lungime mai mică decât raza cercului:  s < r.

Dacă un cerc și o dreaptă au un punct comun, dreapta se numeşte tangentă, punctul în care dreapta atinge cercul se numeşte punct de tangenţă. În figura alăturată, dreapta d este dreapta tangentă la cercul de centru O şi rază r. Punctul de tangenţă este punctul C.
Distanţa de la centrul cercului până la punctul de tangenţă OC = r. De asemenea, această distanţă o construim desenând perpendiculara coborâtă din centrul cercului O pe tangentă. (OC perpendiculară pe d).


Dacă un cerc şi o dreaptă nu au nici un punct comun, dreapta se numeşte dreaptă exterioară cercului. În figura alăturată, dreapta d' este dreapta exterioară cercului de centru O şi rază r. 
Distanţa de la centrul cercului până la dreapta d' o construim desenând perpendiculara coborâtă din centrul O pe dreapta d'. Această distanţă este OP = s' . Acest segment are o lungime mai mare decât raza cercului:  s > r.

Bisectoarea

Voi nota aici ceea ce este important de ştiut despre bisectoare. Este bine să vă introduceţi într-un test şi câteva noţiuni de teorie.


Bisectoarea unui unghi este dreapta care împarte interiorul unui unghi în două părţi congruente.

Fiecare triunghi are trei bisectoare.
Punctul de intersecţie a celor trei bisectoare ale unui triunghi este centrul cercului înscris în triunghi.
Cercul înscris în triunghi îl vom desena astfel: În triunghiul ABC desenăm bisectoarele AA', BB' şi CC'. Punctul de intersecţie a bisectoarelor îl notăm cu I. Acest punct I este centrul cercului înscris în triunghi. Din punctul I coborâm perpendiculare pe laturile triunghiului şi notăm punctele de intersecţie cu laturile triunghiului cu M, N şi P ( M pe latura AB, N pe latura BC şi P pe latura AC). Segmentele IM, IN şi IP sunt congruente şi egale cu raza r a cercului înscris în triunghi. Aşezăm compasul în punctul I şi cu o deschidere a razei egală cu r =IM = IN = IP, desenăm cercul înscris în triunghi. Punctele M, N şi P sunt punctele de tangenţă ale cercului înscris cu laturile triunghiului.

Legat de bisectoare mai cunoaştem faptul că bisectoarele a două unghiuri suplementare sunt perpendiculare.
Două unghiuri suplementare avem şi atunci când prelungim o latură a unui triunghi şi obţinem un unghi exterior triunghiului. Aşa că putem spune că bisectoarea unui unghi al triunghiului este perpendiculară pe bisectoarea unghiului exterior corespunzător.

Bisectoarea are şi o teoremă care ne este foarte utilă în rezolvarea problemelor de geometrie.

Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi  împarte latura opusă unghiului într-un raport corespunzător egal cu raportul laturilor alăturate. Conform notaţiilor din figura de mai sus, vom avea:

Problemă cu paralelograme clasa a VII-a

Se consideră patrulaterul convex ABCD, M mijlocul laturii AB și N mijlocul laturii CD. Se construiesc paralelogramele ADEM și MBCF. Arătați că punctele E, N și F sunt coliniare, iar MN este mediană în triunghiul MEF.

Rezolvare:

Patrulaterul convex este patrulaterul în care toate unghiurile au măsuri mai mici de 180 grade.
Conform datelor problemei construim paralelogramul ADEM astfel: din punctul D ducem o paralelă la AM și din punctul M construim o paralelă la AD. Punctul de intersecție al celor două paralele îl notăm cu E.

La fel construim și paralelogramul MBCF: construim o paralelă la MB prin C și o paralelă la BC prin M. Punctul de intersecție al celor două paralele îl notăm cu F. Avem: CF paralelă cu MB și BC paralelă cu MF. 

 Cunoaştem proprietatea paralelogramului: Laturile opuse sunt congruente (şi egale) două câte două. Din această proprietate am trecut mai sus şi egalităţile între mărimile laturilor opuse.
Deoarece AM=MB (M este mijlocul lui AB, din ipoteză) rezultă:
AM = MB = DE = CF.
Pe de altă parte, deoarece în paralelogramul AMED, avem AM paralelă cu DE şi
în paralelogramul MBCF avem MB paralelă cu CF, iar AM şi MB sunt situate pe aceeaşi dreaptă AB rezultă că CF este paralelă cu DE.

Din ultimele relaţii şi privind figura, observăm că paralele CF şi DE sunt intersectate de dreapta CD.
CD este secantă. Cunoaştem proprietăţile dreptelor paralele tăiate de o secantă. Aici facem referire la unghiurile care se formează între dreapta secantă şi dreptele paralele. O pereche de unghiuri alterne interne congruente sunt unghiurile: EDN și NCF. Din relațiile de mai sus putem scrie congruența triunghiurilor EDN și NCF:

 

Rezultă că și celelalte elemente ale acestor două triunghiuri sunt congruente și egale două câte două.

  (1)

      La fel arătăm și congruența triunghiurilor DCF și DEC:

     Rezultă că și celelalte elemente ale acestor două triunghiuri sunt congruente și egale două câte două.

(2)

Din (1) și (2) și din ipoteză DN=NC, rezultă că și triunghiurile DNF și ECN sunt congruente

rezultă că și unghiurile DNF și ENC sunt congruente.

Din relațiile de mai sus, putem scrie:

Ultima relație ne arată că punctele F, N și E sunt coliniare ( măsura unghiului FNE este de 180 grade)

Iar congruența arătată mai sus FN=NE ne arată că MN este mediană în triunghiul MEF.

Aria triunghiului - clasa a VI-a

 
În triunghiul ABC, cu aria egală cu 96 cm2 (pătraţi), punctul D este mijlocul laturii [AC], iar punctul M este mijlocul segmentului [BD]. Determinaţi aria triunghiului BMC.

 

Modulul unui număr / Ecuație cu modulul unei expresii / Clasa a VI-a, Clasa a VII-a

Algebră clasa a VI-a , clasa a VII-a

Modulul unui număr reprezintă valoarea acelui număr atunci când nu luăm semnul în considerare.
Ca exemplu +3 luat în modul este egal cu  3,  iar -3 luat în modul este egal tot cu 3.

Pentru modulul unui număr se mai folosește și exprimarea de valoare absolută a acelui număr.
Modulul se reprezintă prin încadrarea între două bare verticale a acelui număr.
 Când avem în locul unui număr o literă, înțelegem că acea literă poate avea orice valoare, ea este necunoscuta. Dacă problema ne spune că necunoscuta x este din mulțimea numerelor întregi, modulul lui x poate avea cele două forme (așa cum am văyut în exemplul de mai sus ...odată poyitiv și o dată negativ.
Pentru scrierea celor două forme folosim exprimarea de explicitare a modulului.
Această explicitare a modulului ne ajută să putem rezolva orice problemă.
Explicitarea modulului lui x se scrie după cum urmează:

 Ceea ce trebuie să reținem este că în locul lui x putem avea o expresie în care să îl avem pe x. De exemplu, rezolvarea unei ecuații cu modul:

Avem un modul egal cu 9.

Explicităm modulul și reținem că ceea ce este scris după cuvântul DACĂ este condiția în care există acea formă a modulului.
Rezolvăm inecuația de la condiția fiecărui caz și ținem cont că suntem în mulțimea numerelor întregi.
Rezolvăm ecuația care ne-a fost dată în problemă pentru fiecare caz în parte.
Soluțiile găsite sunt valabile pentru fiecare caz în parte.  Scriem la final soluția ecuației.ca reuniune a celor două soluții -7 și 2.

Determinați valorile întregi ale lui x pentru care fracția urmatoare are valori întregi

 Algebră Clasa a VI-a, clasa a VII-a

Determinați valorile întregi ale lui x pentru care fracția următoare are valori în mulțimea numerelor întregi:

5x + 18

7 - 2x

În acest exercițiu avem o fracție în care necunoscuta x apare și la numărător și la numitor.Pentru această necunoscută x trebuie să aflăm valorile pe care le poate avea astfel încât, atunci când le introducem în expresia fracției  și calculăm să obținem numai numere întregi.

Asta înseamnă că numărătorul fracției trebuie să se împartă exact la numitor (ca rezultatul împărțirii să fie număr întreg)   sau altfel spus, numărătorul este divizibil prin numitor (sau numitorul divide numărătorul)
Dacă avem o astfel de împărțire exactă, fără rest (restul trebuie să fie zero) înseamnă că putem să facem operațiunea de scoatere a întregilor din fracție.
Observăm că la numitor avem -2x .....iar la numărător +5x...Pentru a fi calculul mai ușor, scoatem factor comun la numitor -1. Fracția va arăta astfel:

5x+18

-1(2x-7)

Ne vom folosi de niște artificii de calcul, pentru a forma la numărător expresia de la numitor.
Astfel în loc de 5x vom scrie 2x + 2x + x iar pentru a-l avea pe -7 la numărător, adunăm și scădem 7 (știm că rezultatul nu se schimbă dacă adunăm și scădem același număr) și vom scrie 18+7-7 și rezultatul nu se schimbă.

Mai departe vă propun să urmăriți a doua parte a calculelor în care aplicăm un alt artificiu prin care înmulțim și împărțim fracția rămasă cu 2 astfel încât să avem și la numărător 2x. Să ne uităm acum numai la acea fracție rămasă, pe care o înmulțim și o împărțim prin 2. După efectuarea calculelor am adus fracția noastră la o formă în care necunoscuta apare numai la numitor.
Pentru ca această expresie să aibă numai valori întregi, ar trebui ca paranteza să fie un număr întreg și par. Deoarece avem 1 adunat cu o fracție, concluzia este că această fracție trebuie să fie un număr întreg impar.
Când această fracție ia valori întregi impare?
La cea de-a doua fracție  observăm că 73 de la numărător este număr prim. Divizorii lui 71 sunt: -71, -1, 1 și +71. Pentru aceste cazuri calculăm valorile lui x. Astfel:
    2x-7  = -71;   rezultă că  2x = 7 -71 = - 64 ;   x = -32;
    2x-7  = -1;     rezultă că  2x = 7 - 1  = 6 ,  2x = 6;    x = 3;
    2x -7 = 1;      rezultă că   2x = 7 + 1 = 8;   2x = 8; x = 4;
   2x - 7 = 71;    rezultă că   2x = 7 + 71 = 78;  x = 39.

Soluția problemei: 

Mărimile proporţionale si triunghiul (clasa a VI-a, a VII-a)

(Geometrie clasa a 6-a și clasa a 7-a,  Algebră clasa a 6-a)

Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporţionale cu numerele 3, 7 şi respectiv 8.

Calculaţi măsura celui mai mic dintre unghiurile triunghiului.

Rezolvare:

Cunoaștem că mărimile direct proporționale formează un șir de rapoarte egale.

Acest lucru îl vom scrie astfel:

(măsura unghiului A)/3 = (măsura unghiului B)/7 = (măsura unghiului C)/8               (relația 1)

Deoarece unghiurile A, B și C sunt unghiurile unui triunghi ele vor avea proprietatea

(măsura unghiului A)+(măsura unghiului B) + (măsura unghiului C) = 180 grade.          (relația 2)

Cunoaștem, de asemenea, proprietatea unui șir de rapoarte egale de a egal cu raportul dintre suma numărătorilor șirului și suma numitorilor șirului., care se va scrie astfel folosind relațiile 1 și 2 de mai sus:

(măsura unghiului A)/3 = (măsura unghiului B)/7 = (măsura unghiului C)/8 = (măsura unghiului A+ măsura unghiului B + măsura unghiului C) / (3+7+8) =  180 grade / 18 = 10 grade.

Calculăm măsurile unghiurilor prin egalarea fiecărui raport cu 10.

(măsura unghiului A)/3 = 10 grade ;  măsura unghiului A = 3 X 10 grade= 30 grade

(măsura unghiului B)/7 = 10 grade ;  măsura unghiului B = 7 X 10 grade= 70 grade

(măsura unghiului C)/8 = 10 grade ;  măsura unghiului C = 8 X 10 grade= 80 grade

Soluția:   Măsura celui mai mic unghi este de 30 grade.  

Arătați că fracția este ireductibilă pentru orice n nr. natural

Arătați că fracția următoare este ireductibilă pentru orice n număr natural:
                                                            7n+12
                                                            3n+5
Pentru a rezolva această problemă trebuie să știm ce înseamnă "fracție ireductibilă".
O fracție este ireductibilă atunci când fracția nu mai poate fi simplificată. Deoarece operația de simplificare se poate efectua doar dacă numărătorul și numitorul au divizori proprii comuni, în cazul unei fracții ireductibile numărătorul și numitorul nu au divizori comuni (alții în afară de divizorul impropiu 1).
(De exemplu: numărul 12 are ca divizori numerele: 1, 2, 3, 4, 6 și 12. Divizorii proprii sunt 2, 3, 4 și 6, iar divizorii improprii sunt 1 și 12. Numerele prime au doar divizori improprii 1 și numărul însuși.)
Din aceasta, rezultă că numărătorul și numitorul sunt numere prime între ele. Deci, ceea ce trebuie demonstrat în această problemă se poate spune altfel: 7n+12 și 3n+5 sunt numere prime între ele, sau nu au divizori comuni..

Vă propun o demonstrație prin reducere la absurd.
Prin reducere la absurd, de fapt, presupunem că fracția ar fi reductibilă. Din această presupunere, ar rezulta că numărătorul și numitorul au un divizor comun. Fie acest divizor comun  d , număr natural  diferit de 1.
Înseamnă că numărătorul este divizibil prin d , sau 7n+12= d * m  ( * înmulțire) (1)
                    numitorul este divizibil prin d , sau 3n+5= d * n   (* înmulțire)        (2)
Dacă relația (1) o înmulțim cu 3 (și la stânga și la dreapta) vom avea
                    21 n + 36 = 3 * d * m   (3)
Dacă relația (2) o înmulțim cu 7 (și la stânga și la dreapta) vom avea:
                    21 n + 35= 7 * d * n     (4)
Observăm că 21n+35 și 21n+36 sunt două numere consecutive.
Știm că, întotdeauna, două numere consecutive sunt prime între ele.Dar o putem și arăta prin calcul astfel:
21n+36 = 21n+35+1 , rezultă:
3*d*m=7*d*n+1 , rezultă că: d * ( 3*m - 7 * n) = 1  .  Deoarece d , m și n sunt numere naturale, se poate obține 1 la o astfel de înmulțire doar dacă d =1 și   3*m - 7 * n = 1.
Deci d =1,  ceea ce contrazice presupunerea făcută la începutul demonstrației.

Rezultă că 1 este singurul divizor comun al numărătorului și numitorului fracției date, deci fracția este ireductibilă.

Premiul Nobel pentru Pace, 2014, acordat elevei pakistaneze Malala Yousafzai

Premiul Nobel pentru Pace, 2014, a fost acordat elevei pakistaneze Malala Yousafzai si activistului indian pentru drepturile copiilor Kailash Satyarthi

Kailash Satyarthi / Malala Yousafzai

Foto: Colaj HotNews.ro

Din presa internațională am aflat că Premiul Nobel pentru Pace a fost acordat vineri10 octombrie 2014, adolescentei de 17 ani din Pakistan, pe nume Malala Yousafzai si totodată activistului indian Kailash Satyarthi, care luptă de mulți ani pentru drepturile copiilor, după cum relatează AFP, premiul a fost acordat "pentru lupta lor împotriva opresiunii asupra copiilor și tinerilor și pentru dreptul tuturor copiilor la educație".

Presedintele Comitetul Nobel norvegian, Thorbjoern Jagland, a declarat "Copiii trebuie să meargă la școală și să nu fie exploatați financiar".

Citind despre această tânără adolescentă am aflat că este o oponentă a talibanilor și militează de mai mulți ani pentru dreptul fetelor la educație. În urmă cu doi ani, pe 9 octombrie 2012 a fost victima unui asasina în Pakistan. Ea a fost împușcată de talibani, apoi a suferit mai multe operații chirurgicale. Salvată și recuperată, Malala Yousafzai s-a stabilit in orasul Birmingham.

Ea a intrat în atenția presei, de când avea 11 ani, atunci când a început să scrie un jurnal pentru BBC. Sunt retranscrise în presă unele fragmente, din 2009, și am fost împresionată de cuvintele ei:

 "Am avut un vis teribil ieri cu elicoptere militare și ale talibanilor. Am avut astfel de vise de la lansarea operațiunii militare în Swat (numele dat de ea pentru orașul ei natal Mingora). Îmi era frică să merg la școală pentru că talibanii au emis un edict prin care interzic dreptul fetelor de a merge la școală".

În acel an, împreună cu mulți localnici, Malala și familia ei a plecat în exil din Valea Swat, atunci când o operațiune militară de stat a încercatsă curețe regiunea de militanții talibani. Dupa succesul parțial al armatei din conducerea statului înapoi talibanilor, Malala a fost capabilă să se întoarcă, în acel an, în orașul ei natal Mingora.

Pe parcursul anului 2009, Malala au început să apară la televizor și să susțină public dreptul la educație și școală pentru fete.

În 2011, ea a fost nominalizata pentru Premiul Internațional pentru pace al copiilor, de către Fundatia KidsRights.

Mai târziu, guvernul i-a acordat Premiul Național pentru Pace - redenumit ulterior Premiul Malala Național pentru Pace - pentru cei sub 18 de ani.

Experiențele pe care le-a trăit Malala au avut un impact puternic asupra aspirațiilor ei de viitor. Ea a declarat pentru The Dawn la începutul acestui an că intenționează să formeze propriul partid politic axat pe promovarea educației.

Pentru pakistanezi, Malala a devenit un simbol al rezistenței împotriva talibanilor. 

Mă impresionează dorința copiilor din zonele lumii unde situația internă este tulbure, unde se dau lupte și armele se aud în fiecare zi pe străzi a merge la școală și de a obține educație, și nu pot să nu fac comparație cu copiii de la noi, din România. Chiar dacă nu este totul perfect, nu înțeleg de ce din ce în ce mai mulți copii abandonează școala, și mai rău își bat joc de ea.

Poate că ar fi bine dacă copiilor noștri li s-ar prezenta situația la nivel mondial a copiilor lumii, dacă în programa școlară ar fi ore dedicate pentru ridicarea nivelului de conștiință al copiilor pentru a le arăta care este situația, la nivel global a copiilor. 

Îmi amintesc, dintr-o carte, cuvintele unei mame americane, care în timpul celui de-al doilea război mondial,  își încuraja copii să mănânce spunându-le:" Mănâncă tot, în Europa copiii mor de foame, și tu faci mofturi!"

Acordați atenție și altor țări ale lumii, nu doar țărilor bogate!