G2. Linii importante în triunghi

G2.

Fie triunghiul ABC cu măsura unghiului A mai mică de 90⁰ . Pe latura (AC) se ia un punct D astfel încât 

(BA) ≡ (BD) şi pe latura (AB) se ia un punct E astfel încât (CA) ≡ (CE). Notăm cu M mijlocul lui (AE) şi cu N mijlocul lui (AD) şi fie {P}= CM ∩ BN. Arătaţi că

 

Rezolvare: 

Din datele problemei (ipoteza)  avem (BA) ≡ (BD) rezultă că triunghiul ABD este isoscel (are două laturi congruente şi prin urmare are şi unghiurile alăturate bazei tot congruente). 

În acest triunghi isoscel se construieşte punctul N la jumătatea lui AD. De aici rezultă că (AN) ≡ (ND) . 

În triunghiul isoscel ABD avem segmentul BN care uneşte vârful B al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse vârfului B. Rezultă că BN este mediana dusă din vârful triunghiul ABD. Cunoaştem de la proprietăţile liniilor importante ale triunghiului isoscel că mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care pleacă laturile congruente) este, totodată, înălţime, mediatoare şi bisectoare deoarece triunghiurile ABN şi BND sunt congruente (cazul de congruență LUL, deoarece AB este congruent cu BD, din ipoteză, unghiurile BAN și BDN sunt congruente în triunghiul isoscel ABD și AN este congruent cu ND, din ipoteză).   Din congruența triunghiurilor ABN și BND rezultă că unghiurile BNA și BND sunt congruente. Deoarece suma acestor unghiuri BNA și BND este un unghi alungit, cu măsura de 180 de grade, rezultă că unghiul BNA = unghiul BND = 90 grade. În concluzie BN este perpendiculară pe AD şi este înălţimea dusă din vârful B pe latura opusă în triunghiul ABD. De asemenea BN este înălțime și în triunghiul ABC. fiind perpendiculara din vârful triunghiului dusă pe latura opusă AC, deoarece punctele A, D și C sunt coliniare).

     

În triunghiul ACE, avem  (CA) ≡ (CE), din datele problemei, rezultă că triunghiul ACE este isoscel. Deoarece triunghiul ACE este isoscel, unghiurile formate de bază cu laturile congruente sunt, la rândul lor, congruente: unghiul CAM = unghiul CEM . Punctul M este la mijlocul bazei triunghiului ACE, deci CM este mediană. Mediana dusă din vârful triunghiului isoscel  (vârful din care pleacă laturile congruente) are proprietatea de a fi mediatoare, înălţime şi bisectoare, deoarece triunghiul CME este congruent cu triunghiul CMA (cazul de congruență a triunghiurilor LUL : CA și CE sunt conguente, conform ipotezei,  unghiurile CEM și CAM sunt congruente in triunghiul isoscel CAE și AM = ME, conform ipotezei)
Rezultă că si celelalte elemente ale triunghiurilor CME și CAM sunt la rândul lor congruente două câte două, cum sunt  unghiul CMA și unghiul CME. Suma acestor două unghiuri este de 180 grade, deci fiecare dintre ele va avea măsura de 90 grade. Rezultă că CM este perpendiculară pe AE, sau în triunghiul ACE, CM este înălținea dusă din vârful C pe latura opusă AE. Dar CM este înălțime și în triunghiul ABC fiind prependiculara dusă din vârful C pe latura opusă AC (punctele A, C și E sunt coliniare).

   

În triunghiul ABC, observăm acum că

sau     (deoarece A, D şi C sunt coliniare)...BN este o înălţime în triunghi

sau (deoarece A, B şi E sunt coliniare)... CM este cea de-a doua înălţime a triunghiului

{P}= CM ∩ BN 

Punctul de intersecţie al înălţimilor unui triunghi este un punct unic. Acest punct se numeşte ortocentru.

{P}aparţine segmentului AR, rezultă că AP este tot înălţime .

 

Subiectul 2/4 - evaluare naţională 2013-2014 - clasa a VIII-a

Subiectul 2.4 – evaluări naţionale 2013-2014 clasa a VIII-a

Se consideră funcţia   f: R —> R, f(x) = p x + q, unde p  şi  q sunt numere reale.

a)      determinaţi numerele reale p şi q ştiind că f(1) =1  şi  f(2) = -1

b)      pentru p=-2  şi  q=3, repezentaţi graphic funcţia în sistemul de coordinate xOy.

Rezolvare:

Funcţia f(x) = p x + q, este o funcţie de gradul întâi (deoarece puterea necunoscutei x este egală cu 1).

Condiţiile date de problemă  ne arată că atunci când necunoscuta x ia valoarea 1 (sau dacă înlocuim pe x cu 1) se obţine o valoare a funcţiei f egală cu 1 şi atunci când x ia valoarea 2 se obţine o valoare a funcţiei f egală cu -1.

Scriem astfel:

f(1) =1  => 1 = p ∙ 1 + q

f(2) = -1 => -1 = p ∙ 2 + q

Aceste două relaţii trebuie să fie valabile simultan (în acelaşi timp) deoarece în textul problemei este pus un “şi” între ele . Acest “şi” ne arată că trebuie să rezolvăm ecuaţiile în sistem de două ecuaţii cu două necunoscute.

Rezolvarea sistemului ne duce la valorile p şi q cerute de problemă.

 Pentru valorile obţinute expresia funcţiei este:

f(x) = -2 x +3

c)      Cerinţa cuprinde chiar valorile pentru p şi q aflate la punctul a).

Pentru a reprezenta grafic funcţia de gradul întâi avem nevoie de două puncte. Deoarece graficul funcţiei de gradul I este o dreaptă, şi noi ştim că o dreaptă este determinată (se poate desena) dacă cunoaştem cel puţin două puncte ale dreptei, vom folosi aşa numitele puncte de intersecţie cu axele de coordonate (sau ..se mai spune trasarea graficului prin tăieturi)...Ce înseamnă punctele de interesţie cu axele de coordonate?

În primul rând, axele de coordonate au următoarele proprietăţi:

1)      sunt două drepte infinite şi perpendiculare în punctul notat cu O.

2)      Toate puctele din plan pot fi desenate cu ajutorul a două distanţe ..distanţa faţă de Oy ..şi distanţa faţă de Ox şi se notează M(x_M, y_M) citim: punctul M de coordonate x_M şi y_M)

3)      Distanţa de la un punct la axa Oy se numeşte abscisa punctului (sau coordonata x a punctului).. adică x_M

4)      Distanţa de la un punct la axa Ox se numeşte ordonata punctului (sau coordonata y a punctului)..adică y_M

5)      dreapta Ox este axa de coordonate numită abscisă şi toate punctele care aparţin acestei drepte au coordonatele (x_M, 0) ...litera M este luată doar de exemplu...

6)      dreapta Oy este axa de coordonate numită “ordonată” şi toate punctele care aparţin acestei drepte coordonatele (0, y_M )

Când o dreaptă intersectează axele de coordonate …se întâmplă următoarele:

Când intersectează axa Oy …găsim un punct care aparţine şi graficului funcţiei, dar şi axei de coordonate Oy…deci acest punct, notat de exemplu cu litera A are coordonata x egală cu 0. Ceea ce înseamnă că dacă în expresia funcţiei îl înlocuim pe x_A cu 0 obţinem coordonata y_A  a punctului A.

Scriem:   x_A  = 0  =>   y_A = f(x_A) = f(0) = -2 ∙ 0 + 3 = 3 . deci punctual A ( 0 ; 3)

Când intersectează axa Ox …găsim un punct care aparţine şi graficului funcţiei, dar şi axei de coordonate Ox…deci acest punct, notat de exemplu cu litera B are coordonata y egală cu 0. Ceea ce înseamnă că dacă în expresia funcţiei îl înlocuim pe y_B cu 0 obţinem coordonata x_B  a punctului B.

Scriem:   y_B  = 0  =>   y_B = f(x_B) =  -2 ∙ x_B + 3 = 0 => -2 ∙ x_B = - 3  => x_B = 3/2

deci punctual B ( 3/2 ;  0)

Desenăm axele de coordonate, punctele A şi B. Unim punctele A şi B cu o dreaptă. Această dreaptă este graficul funcţiei.

Subiectul 3.2 / evaluare naţională 2013-2014 - Clasa a VIII-a

3.2 În figura este reprezentat schematic un acvariu în formă de prismă dreaptă cu baza un pătrat, care are latura bazei de 8 dm şi muchia laterală de 5 dm. Feţele laterale ale acvariului sunt confecţionate din sticlă. Baza acvariului este confecţionată dintr-un alt material. Acvariul nu se acoperă. În acvariu se află apă până la înălţimea de 4 dm (se neglijează grosimea sticlei) .

a)      Calculaţi câţi litri de apă sunt în acvariu;

b)      Calculaţi câţi metri pătraţi de sticlă sunt necesari pentru a confecţiona 100 de acvarii, care au dimensiunile precizate în enunţ;

c)      Arătaţi că, în orice moment, distanţa dintre doi peşti este mai mică sau egală cu 12 dm.

Rezolvare:

Ne amintim:
Noţiunea de prismă – prisma este un corp geometric (poliedru) mărginit de feţe plane, dintre care două poligonale sunt egale (congruente) şi paralele şi se numesc baze, iar celelalte în formă de paralelograme, formează feţele laterale. Totodată muchiile laterale ale prismei sunt paralele între ele. Înălţimea prismei este egală cu distanţa dintre planele bazelor. Aria bazei prismei este egală cu aria poligonului care este la bază. Aria laterală a prismei este egală cu suma ariilor paralelogramelor feţelor laterale.

Când prisma este dreaptă, este un caz particular, feţele laterale sunt dreptunghiuri şi acestea sunt în plane perpendiculare pe bazele prismei. La prisma dreaptă înălţimea prismei este egală cu muchia laterală. Aria laterală a prismei drepte este egală cu perimetrul bazei înmulţit cu înălţimea prismei (=muchia laterală).

Volumul prismei este egal cu aria bazei înmulţită cu înălţimea prismei.

Cum rezolvăm:

a)      Baza prismei este un pătrat cu latura de 8 dm (decimetri). Deci aria bazei este.

A_ABCD  = 8² = 64 dm²

Muchia laterală este de 5 dm dar apa din acvariu se ridică până la înălţimea de     AM = h = 4dm.

Volumul de apă din acvariu: V = A_ABCD ∙ h = 64 ∙ 4 = 256 dm³.    Soluție V= 256 dm^3.

Deoarece 1 dm³ = 1 litru volumul de apă în litri este de 256 litri.

b)      Pentru a calcula câţi metri pătraţi de sticlă sunt necesari la confecţionarea unui acvariu, avem nevoie să calculăm aria laterală a acestei prisme, deoarece problema spune că baza acvariului se confecţionează din alt material iar sus, acvariul rămâne descoperit. Aria laterală este constituiă din ariile celor 4 pereţi  ai acvariului care sunt dreptunghiuri egale (o latură de 8 dm de la bază şi înălţimea de 5 dm de la înălţimea acvariului)

A_lat  = P_ABCD ∙ AA’  = 4 ∙ 8 dm ∙ 5 dm = 160 dm² de sticlă

Pentru 100 de acvarii este necesară o cantitate de 100∙ 160 dm² = 16 000 dm² sticlă.

Deoarece problema cere exprimare în metri pătraţi, vom face transformarea unităţii de măsură astfel:

1 m² = 100 dm² rezultă că 1 dm²  =  0,01 m².

Necesarul de sticlă este egal cu = 16000 dm² = 0,01 ∙ 16000 m² = 160 m² de sticlă.
  Soluție: 160 m² de sticlă

c)      La acest punct se cere să arătăm că, în orice moment distanţa dintre doi peşti, este mai mică sau egală cu 12 dm.

Înţelegem că distanţa dintre doi peşti nu poate fi mai mare de 12 dm…Deci cât de depărtaţi pot sta doi peşti în acvariu?…Cea mai mare distanţă între două puncte ale prismei (corespunzătoare volumului de apă) este pe diagonala prismei care poate fi AM (cu M am notat nivelul apei din acvariu AM = h = 4 dm)

AM ² = AB ²  + BC² + h² = 8² + 8² + 4² =  144 dm² . De unde prin extragerea radicalului rezultă că  AM = 12 dm.

Distanţa dintre doi peşti este întotdeauna mai mică sau cel mult egală cu 12 dm

D ≤ 12 dm

Subiectul 3- evaluarea naţională 2013-2014 clasa a VIII-a

Problema nr. 1

Figura reprezintă schiţa unei camere în formă de dreptunghi ABCD cu aria de 48 m². Se ştie că lăţimea reprezintă ¾ din lungimea camerei. În interiorul camerei se află un şemineu (o sobă), reprezentat în figură de pătratul MNPD cu latura de 1m. Se montează parchet în cameră exceptând suprafaţa haşurată.

a)      calculaţi lungimea camerei;

b)      ştiind că pierderile de material reprezintă 10% din suprafaţa ce va fi acoperită cu parchet arătaţi că este necesar să se cumpere 51,7 m² de parchet.

c)      Parchetul se vinde ambalat în cutii care conţin fiecare câte 2,5m² de parchet. Preţul fiecărei cutii cu parchet este de 135 lei. Determinaţi suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului.

Rezolvare:

Ipoteza (datele problemei sau ce cunoaştem):

Aria dreptunghiului este de 48 m² şi lăţimea este 3/4  din lungimea camerei.

Concluzie: (ce cere problema) Lungimea camerei

Notăm pentru dreptunghiul ABCD

L – lungimea dreptunghiului ABCD

l  -   lăţimea  dreptunghiului ABCD

Formula ariei dreptunghiului este A_ABCD = L ∙l

Din datele problemei înlocuim valoarea ariei şi obţinem o ecuaţie:

L ∙l = 48      (1)

                                                        

Din datele problemei  avem  l  =    (3/ 4)   ∙  L  ;   Aceasta este cea de-a doua ecuaţie (2) .

                                                       

Avem două ecuaţii care sunt adevărate în acelaşi timp, asta înseamnă că ele formează un sistem de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute şi putem să- l rezolvăm prin metoda înlocuirii (a substituţiei).

Înlocuim în ecuaţia (1) expresia lui l din ecuaţia (2) şi obţinem:

L ∙ (3/4) ∙  L = 48

L² ∙ 3 = 48∙ 4

L² ∙ 3 = 192

L²  = 192 : 3 = 64 se extrage radicalul din 64 şi rezultă

L =  8 m

b )  Valoarea lăţimii va fi egală cu (3/4) ∙  L = (3/4) ∙  8 = 3∙  2 = 6 m

La punctul b) se spune că doar suprafaţa liberă se acoperă cu parchet…deci aria haşurată a pătratului ocupată de şemineu ..trebuie scăzută din aria totală a dreptunghiului. Aria pătrtului este A_MNPD  = MD² unde MD este latura pătratului egală cu 1m. Rezultă:

A_MNPD  = 1 m²

Deci suprafaţa care se acoperă cu parchet este A_ABCD – A_MNPD = 48 – 1 = 47 m².

Pentru acoperirea cu parchet se folosesc 47 m² de parchet ..dar problema spune că sunt şi 10% pierderi din suprafaţa totală care se acoperă cu parchet  . Rezultă că pierderile reprezintă 10% ∙ 47 m² = 0,1 ∙ 47 m²  = 4,7 m².

Deoarece există pierderi de material (pierderile apar la tăierea plăcilor de parchet) când se cumpără cantitatea necesară de parchet este nevoie să cumpărăm mai mult pentru ca să ne asigurăm ..că după ce se pierd unele bucăţi din plăcile de material ne rămâne suficient material pentru a acoperi camera cu parchet. Deci trebuie cumpărată o cantitate de parchet egală cu 47 m² + 4,7 m²  = 51,7 m².

c)  Parchetul se vinde ambalat în cutii şi fiecare cutie conţine 2,5 m ²  de parchet.  Pentru a cumpăra cantitatea de 51,7 m2 ar trebui cumpărate x cutii. Cu ajutorul regulii de 3 simplă

2,5 m²…………1 cutie

51,7 m²………..x cutii

Numărul x de cutii este egal cu 51,7 : 2,5 = 20,68 cutii de parchet.

Deoarece nu se pot cumpăra decât cutii întregi .. se vor cumpăra 21 de cutii de parchet (numărul întreg imediat următor numărului zecimal). Acesta este un număr minim de cutii de parchet cu care se poate acoperi camera.

Pentru a calcula preţul folosim iar regula de trei simplă:

1 cutie .......135 lei

21 cutii.........x lei

Suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului va fi 21 ∙135 = 2835 lei.

G1. Linii importante în triunghi

1. În triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 90^o , bisectoarea unghiului ABC intersectează pe AC în D, iar DE este înălţimea triunghiului BDC. Demonstraţi că:

a)      AE BD

b)      AE ║FC unde F este egal cu AB ∩ DE.

Rezolvare:

Începem prin a analiza datele problemei: ipoteza

Aceste date sunt:

(1) un triunghi ABC cu măsura unghiului A de 90^o , 

(2) BD este bisectoarea unghiului ABC

(3) DE este înălţimea triunghiului BDC.

Ne gândim bine aceste informaţii şi observăm că:

Din ipoteza nr. (1) rezultă că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în vârful A. Începem să construim figura desenând acest triunghi dreptunghic ABC şi marcăm pe figură cu  un colţ „ ┐” la vârful A unde avem unghiul drept (de 90^o).

Din ipoteza nr. (2) rezultă că BD împarte unghiul ABC în două părţi de măsuri egale (congruente). Această concluzie o vom scrie:

       măsura unghiului ABD = măsura unghiului DBC

                             m ABD = m DBC

Marcăm pe figură prin arce de cerc desenate în vârful B pentru aceste două unghiuri.

Din ipoteza (3) rezultă că în triunghiul BDC, DE este perpendiculară pe  BC. Această concluzie o notăm 

DE BC . Acestă perpendicularitate o desenăm pe figură printr-un colţ „ ┐” la unul din ughiurile formate în punctul E.

 Acum avem totul desenat…toate informaţiile din problemă.

Privim figura cu atenţie ….şi observăm că triunghiurile ABD şi EBD …au ceva în comun!!! Au comun faptul că sunt dreptunghice….apoi ..au comună latura BD…şi mai mult …au două unghiuri cu măsuri egale, deci sunt congruente:

ABD ≡ EBD.

     

Aceste trei observaţii ne conduc la cazul de congruenţă Ipotenuză – Unghi (IU) pentru triunghiurile dreptunghice.

Vom scrie astfel:

      DAB ≡ DEB = 90^o (din ipoteză)

BD latură comună

ABD ≡ EBD.

                          Rezultă   Δ ABD ≡ Δ DEB (triunghiuri congruente)

Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci şi celelalte elemente ale lor vor fi congruente (deoarece un triunghi are 3 unghiuri si 3 laturi …el are 6 elemente, în congruenţă am folosi 3 elemente : 2 unghiuri şi o latură). Aceste elemente sunt cel de-al treilea unghi si celelalte două laturi….scriem şi aceste congruenţe, deoarece este posibil să ne fie de folos în continuarea problemei).

Acestea sunt:

                AD  ≡  DE          (4)

                BA ≡   BE           (5)

      ADB  ≡     EDB   (6)

Dacă ne uităm atent ..observăm că în relaţia (5) avem o congruenţă care ..ne duce la triunghiul  ABE….acest triunghi are două laturi congruente (AB şi BE) . ..deci este un triunghi isoscel!

BA ≡   BE     rezultă Δ ABE isoscel   deci din proprietăţile triunghiului isoscel…că sunt congruente şi  unghiurile alăturate de laturile congruente!

Scriem astfel: MAB ≡ MEB   (7)

În acest triunghi isoscel BM este bisectoarea unghiului de la vârful triunghiului isoscel. De la proprietăţile liniilor importante din triunghiul isoscel noi ştim că „bisectoarea dusă din vârful triunghiului isoscel este în acelaşi timp mediatoare, mediană şi înălţime”. Acest lucru se vede foarte uşor din faptul că 
Δ ABD ≡ Δ MEB (deoarece  ABD ≡ EBD din ipoteză, relaţia (5) şi relaţia (7) ..deci cazul de congruenţă ULU).

Din Δ ABD ≡ Δ MEB rezultă că şi celelalte elemente ale triunghiurilor sunt congruente : AM  ≡ ME  rezultă că BM este şi mediană

AMB ≡ EMB  dar aceste două unghiuri sunt suplementare (suma lor este de 180^o), rezultă că măsura fiecăruia este de 90^o.  Rezultă că BM este şi înălţime, deci şi mediatoare.

Deoarece  BM este înălţime,  vom scrie BM AE , deoarece B, M, D sunt puncte coliniare, în loc de BM vom putea scrie BD AE . Ceea ce trebuia demonstrat la punctul a.

Pentru punctul b al problemei, continuăm raţionamentul şi observăm în figură că în

Δ BFC avem CA FB , FE BC,  CA ∩ FE = {D} (mulţimea formată din punctul D).

Ceea ce înseamnă că CA şi FE sunt înălţimi şi punctul D este la intersecţia acestor înălţimi. Dar noi ştim că înălţimile într-un triunghi se intersectează într-un punct unic, numit ortocentru. Deci dacă două înălţimi trec prin punctul D atunci obligatoriu şi cea de-a treia linie care trece prin acest punct şi uneşte un vârf al triunghiului cu latura opusă va fi tot înălţime! Deci, BN CF. (8)

BN este pe aceeaşi dreaptă cu BD şi am demonstrat la punctul (a) că BD AE deci putem scrie 

BN AE (9).

Din aceste două relaţii (8) şi (9) rezultă că AE ║FC (avem unghiuri alterne interne cu măsuri de 90^o) . Ceea ce trebuia demonstrat la punctul b.

A4. Determinaţi numărul cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest

4. Determinaţi numărul natural care satisface simultan condiţiile:

a)      împărţit la 4, dă restul 3,

b)      împărţit la 10, dă restul 1;

c)      împărţit la 12, dă restul 3;

d)      suma câturilor celor trei împărţiri de la punctele a), b) şi c) este mai mare cu 16 decât o treime din numărul dat.

 Rezolvare:

În această problemă se utilizează teorema împărţirii cu rest.

Acestă teoremă spune: Deîmpărţitul este egal cu produsul dintre împărţitor şi cât la care se adună restul: 
D = Î  ∙ C + R

Dacă notăm numărul pe care trebuie să îl determinăm cu litera D şi aplicăm teorema de mai sus vom putea scrie condiţiile problemei astfel:

a)   D = 4  ∙ C₁ + 3

b)   D = 10  ∙ C₂ + 1

c)   D = 12  ∙ C₃ + 3

Deoarece avem trei împărţiri diferite şi câturile lor vor fi diferite. Deoarece nu le cunoaştem, le-am notat cu C_1,  C₂  şi C₃ .

Pentru condiţia d) vom scrie:  C₁ + C₂  + C₃  = D / 3  + 16

                    (suma celor trei câturi este mai mare cu 16 decât o treime din numărul dat) )

 Din relaţiile a) , b) şi c) scoatem câturile C1, C2 și C3  astfel:

a) D = 4  ∙ C₁ + 3  

     D – 3 = 4  ∙ C₁

                 

     C₁ =  (D-3) / 4

                   

 b)   D = 10  ∙ C₂ + 1 

       D – 1 = 10  ∙ C₂

                 

     C₂=  (D-1) / 10 

c)   D = 12  ∙ C₃ + 3 

       D – 3 = 12  ∙ C₃

                 

     C₃=  (D-3) / 12

Expresiile obținute pentru C1, C2 și C3 înlocuim în condiţia d) după are facem toate calculele:

                    (D-3) / 4 + (D – 1) / 10 + (D – 3) / 3 =  D /3  + 16

Numitorul comun al acestor fracţii:

4  = 2²

10 = 2 ∙5

12 = 2² ∙3

 3  = 3

-------------

Numitorul comun = 2² ∙3 ∙5  = 60   (din descompunerile în factori primi ale fiecărui numitor luăm, o singură dată, factorii comuni şi necomuni la puterea cea mai mare).

Amplificăm fiecare fracţie cu cantitatea neceasră pentru a ajunge la 60 : prima cu 15, a doua cu 6, a treia cu 5, a patra cu 20 şi termenul liber (numărul întreg) cu 60 şi obţinem:

15 (D-3) + 6 (D-1) + 5 (D-3)  = 20 D +16∙60

15 D -45 + 6 D -6 + 5 D – 15 = 20 D +960

26 D – 20 D = 960 + 45 + 6 + 15

  6 D = 1026

      D = 171

Soluţia : Numărul cerut este 171.

A3. Aflaţi ultimele două cifre

3. Aflaţi ultimele două cifre ale numărului:

A = 7 + 7² + 7³ + …..+7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴.

Rezolvare:

Calculăm câteva dintre puterile lui 7:

7¹ = 7

7² =  49

7³ = 343

7⁴ = 2401

Înmulţind în continuare cu 7 (7⁵ = 16807....) , se observă că ultima cifră a puterilor lui 7 se repetă din 4 în 4.

Pe de altă parte adunând ultima cifră de la primele 4 puteri ale lui 7 se obţine ultima cifră 0 …şi dacă adunăm valorile primelor patru puteri ale lui 7 se obţine:

7¹ +  7² + 7³ + 7⁴ = 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800

Deci suma primelor 4 puteri ale lui 7 este un număr ale cărui ultimele două cifre sunt 0.

Pentru următoarele 4 puteri ale lui 7 :

7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸  observăm că se poate scoate factor comun 7⁴ astfel:

7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸   = 7⁴ (7¹ +  7² + 7³ + 7⁴)  = 7⁴ ∙ 2800 care este un număr cu ultimele două cifre egale cu 0.

Grupăm în continuare puterile lui 7 câte 4. Deoarece ultima putere are exponentul 2014 şi acest 2014 este egal cu  4 ∙ 503 + 2 rezultă că vom putea forma 503 grupe în care, cu ajutorul factorului comun, obţinem paranteza (7¹ +  7² + 7³ + 7⁴ ) care este egală cu 2800 şi în concluzie toate aceste 503 grupe adunate vor conduce la un număr care are ultimele două cifre egale cu zero. 

Deoarece rămân în afara grupelor 7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴ acestea vor da ultimele două cifre ale numărului A.

Calculăm astfel:

7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴   = 7²⁰¹² ( 7¹ + 7² ) = 7 ^{4 ∙∙503} ( 7 + 49) = (7⁴)⁵⁰³  ∙ 56 = 2401 ⁵⁰³ ∙ 56

Observăm că 2401 ridicat la orice putere are ultimele două cifre 01  şi prin înmulţirea cu 56 ultimele două cifre vor fi 56.

A2. Aflaţi numerarul din doua cifre

                               
2. Aflaţi numerele   de două cifre de forma ab, ştiind că a⁴ + a² = 5 · b .

Problema ne cere să aflăm numerele formate din două cifre  a – cifra zecilor şi b cifra unităţilor. Aceste cifre pot avea valori de la 0 la 9. Deoarece numerele trebuie să aibă două cifre înţelegem că cifra zecilor nu poate fi egală cu 0. Observăm că 5b, din partea dreaptă,  este un multiplu de 5.

Condiția ne spune că a⁴ + a² = 5 · b .
 a⁴ + a² = a² (a² +1) este un multiplu de 5.

a²   nu poate fi 5 (deoarece a este număr natural)

a² +1 = 5; 

a² = 5-1 = 4; 

a = 2

4*5 = 5 *b

b = 4            

Alt caz, pentru urm[torul multiplu al lui 5,

a² +1 = 10; 

a² = 10-1 = 9; 

a = 3

9*10 = 5 *b

b = 18, imposibil deoarece b este o cifra si poate fi maxim 9.    

Singurul număr care este soluţie a problemei este 24.